答：必要です。
解説
取締役会書面決議（会社法370条）及び書面報告（会社法372条2項）は、取締役会における決議及び報告の省略を認めるものですが、会社法上、取締役会議事録の作成は必要とされています（会社法369条3項、会社法施行規則101条4項1号2号）。
ただし、「出席した取締役又は監査役」はいないため、取締役又は監査役に議事録への署名・記名押印義務はなく（会社法369条3項）、議事録を作成した取締役の氏名が明らかにされていれば足ります（会社法施行規則101条4項1号二、同項2号ハ）。
議事録を作成する取締役はどの取締役でも会社法上は問題ありませんが、実務上は提案者取締役であることが一般的です。また、実務上は当該取締役の押印を付します。
なお、本店における備置義務と閲覧・謄写請求権は、取締役会議事録と（取締役会書面決議における）同意書の双方が対象となりますので（会社法371条1項～4項）注意する必要があります。
